部分分数分解の要点は有理関数の分母に因数(x-a)mがあったら（これを「x=aでm位の極を持つ」という）、その関数を と(x-a)の1次からm次までの分数関数の和に分解できるということ*1。ただし左辺の Q(x), P(x) の因数分解は(x-a)を含まないし*2、分子 Q(x) の…

1次元の場合だと Spivakの本[*1]の前書きの部分(p.viii)によれば、この定理の初出はKelvin卿がStokesに宛てた1850年7月2日付けの手紙の追伸であったという。アーノルドの本[*2]の「Stokesの公式」の節(p.184)では、この公式を「Newton-Leibniz-Gauss-Green-O…

2重積分の「微小量」 が「微小平行四辺形」の面積を計算するための2次元のベクトル積の結果として得られるスカラー量、すなわち だ*1ということをビジュアルに描いて説明してある教科書ってあるのかな？ *1:3次元だと平行6面体の体積。この計算が背後にある…

記号は「後に続く〈微小なもの〉の〈無限〉和をとりなさい」という意味である。これを「線の長さ」に適用すると次の公式を得る (曲線の長さ)(微小線素の長さ) ここでは曲線上のとても近い2点の差を表わすベクトルを代入するための変数である。つまり曲線上の…

は ならば , となることの検算くらいなら、大学1年の数学の演習に使えそう。しかしまあ、こんな器用な積分を思いつくもんだと思う。

ただし とする。このとき の最大値を とするとき、 となる角周波数 の差の絶対値 は になることを示せ。

の積分はと置けば*1高等学校までに習う範囲内の知識で解ける。誘導をつければ入試でだせるだろう。 より *1:元の関数が双曲線なので双曲線関数を使って式変形をしている。高校の教程に双曲線関数という用語が出ないだけである。

まず分数関数なので分母＝０となる点(複素数の範囲で)を分析するとなので、となる。これより と部分分数分解できることがわかる。ここでヘビサイドの方法(Heaviside's cover-up method)*1を用いて A, B, C, D を求めると , , , よりとなる。よって となる。…

1成分の等方性流体の一般の曲線座標系、すなわち*1Riemann計量()を備えた空間で速度場の反変成分()に対する表示*2: ,は流体の密度、は流体の圧力。作用積分の変分(Hamiltonの原理)から導出できる*3。balotropicの仮定はいらない。配位空間の接空間がLie代数…

ありゃ。研究日誌のサーバが落ちてる？

試験の答案で の両辺をで微分するととなる。この式の両辺にを掛け算して と導関数の「分数表記」を分数として扱うと減点される。…と高校のときに習ったような記憶がある。どんな理由付けがあったのかは忘れた。