「上に凸，下に凸な関数と二階微分」へのコメント

いろいろと授業関連の探し物をしていて、たまたま上に凸，下に凸な関数と二階微分 | 高校数学の美しい物語を読んだのだが、後半の $\sqrt{\tan a\tan b}\leq\tan(\frac{a+b}{2})$ の部分は、 $a\lt\frac{a+b}{2}\lt b$ とおくと、tan(x)は単調増加だから $\tan a\lt\tan(\frac{a+b}{2})\lt\tan b$ なので、ln(tan(x))ではなくln(x)が上に凸で十分な気がする。何か意図があるのかな？