円の接線の公式の導出 - あらきけいすけの雑記帳

指導要領を無視して、というか大学の流儀で書く。

円の方程式を $x^2+y^2=r^2$ とするとき、この両辺を微分して $2x\,dx+2y\,dy=0$ を得る。この式はベクトル $(dx,dy)$ と $(2x,2y)$ は内積が0、すなわち互いに垂直であることを意味している。ベクトル $(dx,dy)$ は曲線の接線の方向ベクトル(接ベクトル)であるから、それと垂直な $(x,y)$ は接線の法線ベクトルである。ここで接点の座標を $(a,b)$ としよう。接線の方程式は $a(x-a)+b(y-b)=0$ となる。これを展開すると $ax+by=a^2+b^2$ となる。ここで $(a,b)$ は円 $x^2+y^2=r^2$ 上の点であるから、 $a^2+b^2=r^2$ である。これを接線の式に代入することで円の接線の公式

$ax+by=r^2$

を得る。この公式だけを覚えていると、ときどき $a$ , $b$ に円ではない点の値を代入した答案が出てくる（＾＾；