2項間漸化式の解法 - あらきけいすけの雑記帳

例題：漸化式 $a_{n+1}=2a_{n}-1$ , $a_1=3$ で与えられる数列の一般項を求めよ。

この問題は次のように解きます。まず漸化式 $a_{n+1}=2a_{n}-1$ は次のように書き換えることができます：

(Eq.1) $a_{n+1}-1=2(a_{n}-1)$ .

ここで $b_{n}:=a_{n}-1$ とおくと、この式は $b_{n+1}=2b_{n}$ となって公比2の等比数列であることが分かります。なぜこんな式変形に思い至るのでしょうか？式変形の元になった発想を言う前に、まずは一般項の計算をしましょう。この式は任意の自然数 $n$ で成り立っています。つまり

(Eq.2) $a_{2}-1=2(a_{1}-1)$ , $a_{3}-1=2(a_{2}-1)$ , $a_{4}-1=2(a_{3}-1)$ , $a_{5}-1=2(a_{4}-1)$ , …(以下略

となっています。ここで1番目の式を2番目の式に代入すると

(Eq.3) $a_{3}-1=2(a_{2}-1)=2(2(a_{1}-1))=2^{2}(a_{1}-1)$

となります。ここでこの式を3番目の式に代入すると

(Eq.4) $a_{4}-1=2(a_{3}-1)=2(2^{2}(a_{1}-1))=2^{3}(a_{1}-1)$

となります。ここでこの式を4番目の式に代入すると

(Eq.5) $a_{5}-1=2(a_{4}-1)=2(2^{3}(a_{1}-1))=2^{4}(a_{1}-1)$

となります。ここでこの式を…【途中略（＾＾；】… $n-1$ 番目の式に代入すると

(Eq.5) $a_{n}-1=2(a_{n-1}-1)=2(2^{n-2}(a_{1}-1))=2^{n-1}(a_{1}-1)$

となります。ここでこの式に $a_{1}=3$ を代入して

(Eq.6) $a_{n}-1=2^{n-1}(a_{1}-1)=2^{n-1}(3-1)=2^{n}$

となります。最後に右辺の1を移項して

問題の答え： $a_{n}=2^{n}+1$

が得られます。

式変形のやり方

ではなぜ $a_{n}-1$ なんて式変形を思いつくのか？というか -1 ってどうやって求めたのでしょうか。まず計算の方法ですが

漸化式 $a_{n+1}=2a_{n}+1$ に対し
(Step.1) $a_{n}$ , $a_{n+1}$ を $x$ と置き換え、1次方程式 $x=2x-1$ を作る。
(Step.2)1次方程式 $x=2x-1$ の解( $x=1$ )を求める。
(Step.3)その解( $x=1$ )を $a_{n}$ から引き算したもの { $a_{n}-1$ } は等比数列となる。