曲線の長さの公式

記号\intは「後に続く〈微小なもの〉の〈無限〉和をとりなさい」という意味である。これを「線の長さ」に適用すると次の公式を得る

(曲線の長さ)=\ell=\int(微小線素の長さ)=\int\sqrt{dx^2+dy^2}

ここで(dx,dy)は曲線上のとても近い2点の差を表わすベクトルを代入するための変数である。つまり曲線上の2点P_{k}(x_{k},y_{k}), P_{k+1}(x_{k+1},y_{k+1})の位置ベクトルの差\vec{P_{k}P_{k+1}} = (x_{k+1}-x_{k}, y_{k+1}-y_{k})のP_{k+1} \to P_{k}の極限で与えられる微小ベクトルの成分の値を代入する。積分は次の極限値で表される：

\lim_{N\to\infty} \sum_{k=0}^{N-1} \sqrt{(x_{k+1}-x_k)^2+(y_{k+1}-y_k)^2}