行列式、余因子メモ、あるいはエディントンのイプシロンって言うな！

たかが３×３行列なんだけどアタマがワヤになりかかったのでメモ。 $\epsilon^{ijk},\epsilon_{lmn}$ はLevi-Civita の記号*1。
行列式
$\det{M}=\frac{1}{6}\epsilon_{lmn}\epsilon^{ijk}M_{i}^{l}M_{j}^{m}M_{k}^{n}=\epsilon_{lmn}M_{1}^{l}M_{2}^{m}M_{3}^{n}$
余因子行列*2
${\rm{cofactor}}(M_{i}^{l})=\frac{1}{2}\epsilon_{lmn}\epsilon^{ijk}M_{j}^{m}M_{k}^{n}$
$\sum_{i=1}^{3}{\rm{cofactor}}(M_{i}^{l})M_{i}^{p}=\frac{1}{2}\epsilon_{lmn}\epsilon^{ijk}M_{j}^{m}M_{k}^{n}M_{i}^{p}=\det{M}\delta_{l}^{p}$ ここで $\delta_{l}^{l}=3$ に注意する。

*1:Google様にお伺いすると "Eddington's epsilon", 「エディントンのイプシロン」で上位にくるページは日本人の関わったものばかり。

*2:記号 cofactor は勝手に作った。定番の記号が無いようだ。