三角形の内心のベクトル表示 - あらきけいすけの雑記帳

3次元のグラフィックス関連のコードを書いていて、三角形の内心の座標が必要になったので試しに計算をした。こんなにきれいな結果だったら、受験勉強関係のどこかで見た記憶があってもよさそうな気がしなくもないのだが…。
$\triangle OAB$ において、内心を $C$ , $OA$ と $BC$ の交点を $D$ , $\vec{OA}=\vec{u},$ $\vec{OB}=\vec{v},$ $OA=a,$ $OB=b,$ $AB=c$ と置く。内心は角の二等分線の交点であるから、 $OD:DA=b:c$ より $\vec{OD}=\frac{b}{b+c}\vec{u}.$ $OD=\frac{ab}{b+c}$ , $OB=b$ より $DC:CB=a:b+c$ . よって $\vec{OC}=\frac{b+c}{a+b+c}\vec{OD}+\frac{a}{a+b+c}\vec{OB}$ であるから

$\vec{OC}=\frac{b}{a+b+c}\vec{u}+\frac{a}{a+b+c}\vec{v}$