xn の積分の証明のコア - あらきけいすけの雑記帳

教育用の覚え。Σkⁿの式はnが大きいほど係数が面倒なので、確認の楽な等式 $\sum_{k=1}^{N} k(k+1)\cdots(k+n-1)=\frac{1}{n+1}N(N+1)\cdots(N+n)$ を用いて、定積分 $\int_0^ax^{n}dx$ を不等式 $\sum_{k=1}^{N} \left(\frac{ka}{N}\right)^n\frac{a}{N}\quad<\quad\frac{a^{n+1}}{N^{n+1}}\sum_{k=1}^{N} k(k+1) \cdot \cdot \cdot (k+n-1) = \frac{a^{n+1}}{n+1} \frac{N}{N} \frac{N+1}{N} \cdot \cdot \cdot \frac{N+n}{N}$ で評価する。極限をとると $\lim_{N\to\infty} \frac{a^{n+1}}{n+1} \frac{N}{N} \frac{N+1}{N} \cdot \cdot \cdot \frac{N+n}{N} = \frac{a^{n+1}}{n+1}$ 以上は「上から押さえ込む」方の計算。「下から」も似たようなもの。