授業のための覚書 ネイピア数eの定義がなぜあの形か，先生は説明をしてくれなかった | ロボット・IT雑食日記 学習したことを内省して概念化して理解を深めていくプロセスってこんな感じだよなあ。てゆーか、ボク自身も受験勉強の最中（とそれ以降）は無自覚…

教育用のメモ。岡本久, 『ニュートン法の話 近似法から微分方程式の解の存在証明まで』, 数学のたのしみ, 2006春, p.70-91 *1に紹介されている。公式としての収束は速いが、演算数で不利になるので、アルゴリズムとして速いというわけでもない、という注意書…

授業のための覚書。いまのところ次の式は対数法則を首尾一貫して実行できるようになるための「定義」であって、何かから導出できる「公式」ではないような気がしているもやもやが取れない。

「積分区間」という語が出てこない（これは意外）。区間の「上端」「下端」はp.196とp.244に出ている（索引には上がっていない）。

教育用の覚書。「ペーパーテストにしづらいが、数学の基礎を掘り下げるような、高校までの教程の知識で解ける、大学の一般教養的な内容の問題」にならないかなと思って考えてみた。 ビュルギは1.0001を、ネイピアは0.9999999を掛け算して対数表を作りあげた…

教育用の覚え。でならば、は単調増加なのでである。これより である。ここで関数を考える。まずである。導関数はであるから、, となる。だからグラフが 00 となるので、となる。だからでのグラフは2点, を結ぶ直線より下にある。

自分の授業の板書のノート起こしをしてみて、ノートテイクの時間を自在にコントロールできるので、例えば板書の量がある程度たまったところで一気に整理するように書いたりとかできるので便利だということに気が付いた。例えば授業をLMSにあげておいて、ノー…

解析教程 上 新装版作者: E.ハイラー,G.ワナー,蟹江幸博出版社/メーカー: シュプリンガー・ジャパン(株)発売日: 2006/09/15メディア: 単行本 クリック: 22回この商品を含むブログ (5件) を見る教育用の覚書。自然対数の底 e (ネイピア数)の定義に現れる数列 …

教育用の覚え。指数法則の教材を整理しながら、指数を有理数に拡張し、n乗根と分数の指数の関係 を導入するところで、正の数のn乗根が必ず存在することを天下り的に保証してしまっていることと*1、n乗根の値を求める算法をまったく与えていない*2ことに気が…

卒研の指導で大学から帰るのが遅くなってしまい、22:08岡山発の各駅停車に乗った。倉敷のあたりであろうか、隣に座られた若い先生（らしき方）が滋賀医科大学の入試問題を解き始めたので、あらきは思わず覗き込んで暗算を始めてしまった（実に品がないことす…

関数 y=ex/20sin(x)のグラフ。サイト Wolfram Alpha を利用して描画教育用の覚え。 カラオケでマイクの向きが悪いとスピーカーから「キーン」なんて大きくて不愉快な音が出る。これは「ハウリング」*1という現象で、指数関数の講義するときに「指数関数の実…

新井紀子さんのブログ：テイラー展開をどう伝えるか - researchmapを拝見する。「生き抜くための数学入門」でのマクローリン展開を利用した cos(x) の x=15[deg] での値の計算の話（でいいのかな？）を中学生に教えることと、それに対する批判と、それへの回…

計算とは何か (math stories)作者: 新井紀子,新井 敏康,上野健爾出版社/メーカー: 東京図書発売日: 2009/10/07メディア: 単行本購入: 30人 クリック: 324回この商品を含むブログ (11件) を見る新井, 新井, 『計算とは何か』, (東京図書,2009) に一通り目を通…

教育用の覚え。 と何気なく書くプライムの意味をまじめに書くと意外と面倒：

教育用の覚書。高校の数学でオイラーの公式 を教えないわけは、多分、複素数の指数というヘンテコなものの説明がつかないからかなあと想像している。たとえば , 「2を 回掛け算する」って一体どんな計算だ？*1「冬山登山で1.5人が遭難した」以上にへんな表現…

教育用の覚え。まずε-δに批判的な自分自身*1へのカウンターバランスとして。そして教育が「目先の有用性」に引きずられていくことへのカウンターバランスとして。この付録をマスターするために必要な抽象思考と用語法は、本書の他の部分で要求されるものにく…

教育用の覚書。部分分数分解は分数関数の不定積分や、有理関数のラプラス逆変換(Laplace inverse transform)などで用いる基本的な技法である。部分分数分解とはと一意に分解すること。ただしP(x)は(m1+…+mn)よりも小さい次数の多項式で分母のどの因数とも約…

（注：具体的な計算法については：部分分数分解の解法（通分をしないで済む「ヘビサイドの目隠し法」） - あらきけいすけの雑記帳を見てね。） タイトルの答えは「わからん（調査中）」である→「呼んではいけない」。Heavisideの展開定理とは線形常微分方程…

教育用の覚書。蟹江訳,ハイラー,ワナー,『解析教程』の§Ｉ．３の訳注にlogの表記法について記されている。自然対数の表記に底を書かない"log"を用いるのは日本の教科書の慣習（単なるローカル・ルール）のようである。ISO標準では次のようになっているようだ…

教育用の覚え。Σknの式はnが大きいほど係数が面倒なので、確認の楽な等式を用いて、定積分を不等式で評価する。極限をとると 以上は「上から押さえ込む」方の計算。「下から」も似たようなもの。

教育用の覚え。三角関数の囲む面積を長方形の面積の総和の極限値として求める。大雑把には区間[0,θ] (ただしsin(x)＞0を保証したいので0＜θ＜πとしておく)をN等分して不等式で評価すればリーマン和の値を不等式で評価できる。計算してみたら「隣り合う」項が…

教育用の覚書。置換積分を用いて解く。 とおいて の積分に書き換える*1*2。この置き換えではtをxの式で表すと xをtの式で表すと ↑この式よりdxの変換は をtの式で表すと これらを代入してxの式をtの式に書き換える。例題 「対数に絶対値が無い！」なんて言わ…

講義の準備のための覚書。Langの解析入門 原書第3版(isbn:4000051512)には「後退する」部分積分を繰り返してTaylor展開の剰余項をくくり出す技法が書かれている。 (Langに沿っているのはここまで) ここから関数 を構成する。この関数はであり、が剰余項の係…

教育用の覚書。対数則と微積分の知識だけから関数を定義する。 対数関数とは任意の a, b に対し対数法則 F(ab)=F(a)+F(b) を満たす関数である。ここで b=1 とおくと F(a)=F(a)+F(1) より F(1)=0 となる。b=0 とおくと F(0)=F(a)+F(0) が任意の a で成り立た…

指数法則を満たす関数は (Cは定数)となることは簡単に示せるが、を満たす関数が指数法則を満たすことが示せないでいる。 答えの一つはをマクローリン展開の式に代入して、得られた指数関数の無限級数表示が指数法則を満たすというものだが（参照）、導関数の…

授業で使う機会があるかどうかはわからない。�����ƑQ����[���Z���w��2�K�̐��`������������]の計算の簡単な例としてメモ微分方程式 を解け より のときのこれらの等式をまわりのTaylor級数に代入して数学的に厳密な収束…

ラジアンの導入に関した調べものをしていて見つけた：http://nkiso.u-tokai.ac.jp/math/nakamura/jyugyo/index.htmに曰く確かに, 微分積分学では弧度法の方が都合がよいわけですが, 例えば, 他の実験を伴う教科では, ６０分法もかなり使われるはずです. ちな…

高校で学修する漸化式の内容はというと、例えば , のような漸化式から一般項 を出すような計算の演習になっている。これは微分方程式、例えば から を導出することと似ている。つまり「微分方程式」の離散版が「漸化式」であり、微分方程式の解を求めること…

置換積分を教えた後で紹介ができる内容になっている。通常の高校数学の教程の順番では理系の後の方に位置することになる。ボクは高校のときには習っていない。 積分（ただし）で定義された関数は、対数法則を満たす： 尺度の変換に対して不変な被積分関数に…

指数関数とはを満たす関数なので、となる。つまり導関数がという特徴を持つ。このような関数の簡単な例は（細かい収束の議論を無視して）無限級数で簡単に作れて