三角関数 sin, cos の積分の計算のアウトライン

教育用の覚え。三角関数の囲む面積を長方形の面積の総和の極限値として求める。大雑把には区間[0,θ] (ただしsin(x)＞0を保証したいので0＜θ＜πとしておく)をN等分して不等式

$\sin\left(\frac{2k-1}{2N}\theta\right) \sin\left(\frac{\theta}{N}\right) \quad < \quad \sin\left(\frac{2k-1}{2N}\theta\right) \frac{\theta}{N} \quad < \quad \sin\left(\frac{2k-1}{2N}\theta\right)\tan\left(\frac{\theta}{N}\right)$

で評価すればリーマン和の値を不等式で評価できる。計算してみたら「隣り合う」項が打ち消しあう数列の和になっていて、まとめると

$(1-\cos\theta)\cos\left(\frac{\theta}{2N}\right) \quad < \quad \sum_{k=1}^{N}\sin\left(\frac{2k-1}{2N}\theta\right)\frac{\theta}{N} \quad < \quad (1-\cos\theta)\cos\left(\frac{\theta}{2N}\right){\LARGE /}\cos\left(\frac{\theta}{N}\right)$

になった。これより

$\lim_{N\to\infty} \sum_{k=1}^{N} \sin\left(\frac{2k-1}{2N}\theta\right) \frac{\theta}{N} = 1-\cos\theta$

となる。cos の積分も同様の不等式でおさえられる。高校の範囲内で解けるけど、技巧的な級数の問題だなあ。