テイラー級数と微分方程式 y''=-y の解が三角関数になるわけ

授業で使う機会があるかどうかはわからない。��ƑQ��[��Z��w��2�K�̐��`��]の計算の簡単な例としてメモ

微分方程式 $f''(x)=-f(x)$ を解け

$f''=-f$ より $f=-f''=f^{(4)}=-f^{(6)}=\cdots$ $f'=-f^{(3)}=f^{(5)}=-f^{(7)}=\cdots.$
$x=0$ のときのこれらの等式を $x=0$ まわりのTaylor級数に代入して

$\begin{array}{rl}f(x)&=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(x)}{2!}x+\cdots\\&=f(0)(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots)+f'(0)(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots)\\&=f(0)\cos(x)+f'(0)\sin(x)\end{array}$

数学的に厳密な収束性の議論は犠牲になっている。