解と係数の関係(2次) - あらきけいすけの雑記帳

2次方程式の場合を使って説明する。
$(x-\alpha)(x-\beta)=0$ を展開すると $x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0$ となることから、

2次方程式 $x^2+Ax+B=0$ の二つの解を $x=\alpha$ , $x=\beta$ と置くと、各々の解の値は分からなくても $\alpha+\beta=-A$ , $\alpha\beta=B$ であることだけは分かる

ということ。でも2次方程式には簡便な「解の公式」があるので

和が $A$ ,積が $B$ である二つの数 $\alpha$ , $\beta$ は、2次方程式 $x^2-Ax+B=0$ を解けば求められる。

という逆向きの使い方の方が多い(気がする)。使い道はあるのかというと、例えば

3項間漸化式 $a_{n+1}-5a_{n}+6a_{n-1}=0$ の一般項を求めよ

(…なんて試験問題が「素」で出るわけがないのだが)を解くときに

$a_{n+1}-5a_{n}+6a_{n-1}=0$ は $a_{n+1}-2a_{n}=3(a_{n}-2a_{n-1})$ , $a_{n+1}-3a_{n}=2(a_{n}-3a_{n-1})$ と式変形できるので、 $a_{n}-2a_{n-1}$ は公比3の等比数列、 $a_{n}-3a_{n-1}$ は公比2の等比数列である…

という式変形をするのだが、そのときに使える。というのも

$a_{n+1}-5a_{n}+6a_{n-1}=0$ を $a_{n+1}-(\alpha+\beta)a_{n}+\alpha\beta a_{n-1}=0$ の形になっていると見立てて $\alpha$ と $\beta$ の値を求めた

からである。