複素1変数関数の逆関数の導関数 - あらきけいすけの雑記帳

dx, dy に対する u, v の変化量は $du=\frac{\partial u}{\partial x}dx+\frac{\partial u}{\partial y}dy$ , $dv=\frac{\partial v}{\partial x}dx+\frac{\partial v}{\partial y}dy$ で与えられます。逆関数の導関数とは du, dv が分かっているときに dx, dy の値を求めることです。この二つの方程式から dx, dy を逆に求めるとつぎのようになります： $dx=\frac{1}{D}(\frac{\partial v}{\partial y}du-\frac{\partial u}{\partial y}dv)$ , $dy=\frac{1}{D}(-\frac{\partial v}{\partial x}du+\frac{\partial u}{\partial x}dv)$ ここで $D=\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial v}{\partial y}-\frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial v}{\partial x}$ です。ですから
$dx+idy=\frac{1}{D}(\frac{\partial v}{\partial y}du-\frac{\partial u}{\partial y}dv)+i\frac{1}{D}(-\frac{\partial v}{\partial x}du+\frac{\partial u}{\partial x}dv)=\frac{1}{D}(\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial v}{\partial x})du+\frac{1}{D}(\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial u}{\partial y})idv$
ここで $\frac{1}{f^{\prime}(z)}$ を計算すると
$\frac{1}{f^{\prime}(z)}=\frac{1}{\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}}=\frac{\frac{\partial u}{\partial x}-i\frac{\partial v}{\partial x}}{\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial v}{\partial x}\right)^2}=\frac{1}{D}(\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial v}{\partial x})$ ,
$\frac{1}{f^{\prime}(z)}=\frac{i}{\frac{\partial u}{\partial y}+i\frac{\partial v}{\partial y}}=\frac{i\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial y}}{\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)^2+\left(\frac{\partial v}{\partial y}\right)^2}=\frac{1}{D}(\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial u}{\partial y})$
となり、 $du,dv$ の係数と一致します。ですから $dx+idy=\frac{du}{f^\prime(z)}+\frac{idv}{f^\prime(z)}$ となります。これより $\frac{d}{dz}f^{-1}(z)=\frac{1}{f^\prime(z)}$
2006.6.1<2006.5.26