指数関数に関するボクにとって難しい問題

指数法則 $f(a+b)=f(a)f(b)$ を満たす関数は $f^{\prime}(x)=Cf(x)$ (Cは定数)となることは簡単に示せるが、 $f^{\prime}(x)=f(x)$ を満たす関数が指数法則 $f(a+b)=f(a)f(b)$ を満たすことが示せないでいる。
答えの一つは $f(0)=f^{\prime}(0)=f^{\prime\prime}(0)=\cdots$ をマクローリン展開の式に代入して、得られた指数関数の無限級数表示が指数法則を満たすというものだが（参照）、導関数の定義や平均値の定理などを使った抽象的な議論から出ないものかと考えて行き詰まる。
[2009.2.22追記] $f^{\prime}(x)=f(x)$ を満たす関数の逆関数は $f^{\prime}(x)=1/x$ を満たす。 $1/x$ の積分は対数法則を満たす。だから逆関数は指数法則を満たす。という言い訳を考えた
[2009.5.30追記]結局、元の微分方程式を有限区間上で正確に積分するというプロセスを経ないといけないから、まあこんな手段くらいしかないんだろうな。
[2010.1.5追記] f(0)=1, df/dx=f を満たす関数 f(x) があったと仮定すると（常微分方程式の解の一意性より1個しかないが）、これを一定間隔 y だけ平行移動した関数 g(x):=f(x+y) も dg/dx=g を満たす。このとき (d/dx)(g/f)=0 なので (g(x)/f(x))=定数=(g(0)/f(0))=f(y) であるから f(x+y)=f(x)f(y) となる…ということをおおしださんより教えていただく。ありがとうございます。