■ - あらきけいすけの雑記帳

覚書

ウェーヴレットと直交関数系 (数理科学セミナー) p.3 Prop.1.2
$\{c_n\}$ を $f\in L(a,b)$ の正規直交系 $\{f_n\}$ に対するFourier係数とし、 $\{a_n\}$ を任意の数列とすれば、不等式 $||f-\sum c_n f_n||^2\leq||f-\sum a_n f_n||^2$ が成り立つ。

ルベーグ積分入門 (数学選書 (4)) p.212, Th.28.3. $\mathbb{H}$ の直交系 $\{\phi_n\}$ に対し次の命題は同値：

$\{\phi_n\}$ は完全；

$f,g\in\mathbb{H}$ であって、全てのnに対して $(f,\phi_n)=(g,\phi_n)$ ならば、 $f=g$ ；

任意の $f\in\mathbb{H}$ が $f=\sum\alpha_n\phi_n$ とFourier級数で表される；

任意の $f,g\in\mathbb{H}$ に対して $\alpha_n=(f,\phi_n)$ , $\beta_n=(g,\phi_n)$ とおくとき $(f,g)=\sum\alpha_n\overline{\beta_n}$ が成り立つ；

任意の $f\in\mathbb{H}$ に対して $\sum|(f,\phi_n)|^2=||f||^2$ .

[2006.5.18]

ルベーグ積分入門 (数学選書 (4)) p.177, Th.24.5. $x$ の多項式の全体は $C[a,b]$ の中でノルム $||*||$ に関して稠密である。すなわち、有限な閉区間 $[a,b]$ の上の任意の連続関数は多項式で一様に近似される。

系: $x$ の多項式の全体は $L^2(a,b)$ の中でノルム $||*||$ に関して稠密である。

ルベーグ積分入門 (数学選書 (4)) p.214, Th.28.4. $\{\phi_n\}$ を $\mathbb{H}$ における直交系とする。任意の $f\in\mathbb{H}$ と任意の $\epsilon>0$ に対して、 $\{\phi_n\}$ の適当な一次結合 $\psi=\sum\alpha_n\phi_n$ で、 $||f-\psi||<\epsilon$ となるものが存在するならば、 $\{\phi_n\}$ は完全直交系である。