対数関数を作る - あらきけいすけの雑記帳

教育用の覚書。対数則と微積分の知識だけから関数を定義する。

対数関数とは任意の a, b に対し対数法則 F(ab)=F(a)+F(b) を満たす関数である。
ここで b=1 とおくと F(a)=F(a)+F(1) より F(1)=0 となる。
b=0 とおくと F(0)=F(a)+F(0) が任意の a で成り立たねばならない。だから F≠0 な関数を探すとすれば「F(0) は定義できない。」
F(ab)=F(a)+F(b) の両辺を b で微分すると a F'(ab)=F'(b) となる。この式も任意の a, b で成り立っているはずだから、b=1 を代入して a F'(a)=F'(1) となる。これが任意の a で成り立っているので、F'(a)=F'(1) a^-1 となる。したがって F(x) は x^-1 の積分に比例する*1。
ここで $F(x)=F'(1)\int_c^x\frac{dt}{t}$ と置くと、F(1)=0 より c=1 となる。よって対数関数とは $F(x)=F'(1)\int_1^x\frac{dt}{t}$ で定義される関数である。
ここでF'(1)=1の場合の積分を計算しておけば、任意の対数関数はそのF'(1)倍をするだけでよいことも分かる。だから積分 $\int_1^x\frac{dt}{t}$ で与えられる対数関数がすべての対数関数の基本となる。これを自然対数という。