実3次元ベクトルの2×2元書き換え - あらきけいすけの雑記帳

自分用の覚書。とある計算をしていて、 $\mathbb{R}^3$ のベクトル $\vec{p}=(p_x,p_y,p_z)$ を「長さ」が1の2個の2次元のベクトル

$\vec{p}_{\perp}:=\left(\frac{p_x}{p\sin\theta},\frac{p_y}{p\sin\theta}\right),$ $\vec{p}_{\parallel}:=\left(\frac{|\vec{p}|}{p\sin\theta},\frac{i\sigma p_z}{p\sin\theta}\right),$ 　 $\theta$ は $\mathbb{R}^3$ でz軸と $\vec{p}$ のなす角、 $\sigma=\pm1$

に書き換えるとすっきりとした式になった。3元の実ベクトルを複素2×2元のベクトルに書き換えたときにどんな関係式が成り立つのかはまだ調べてない。