sin, cos のn乗の積分

三角関数の1乗,2乗,3乗の積分は解く方針がぜんぜん違う

\int \sin x dx=-\cos x+C, \int \cos x dx=\sin x+C は基本公式（覚えてないといけない）。

\int \sin^2 x dx, \int \cos^2 x dx は2倍角の公式 \large \sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2}, \large \cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2} を用いて被積分関数を書き換える。

\sin x, \cos x の偶数乗は基本的に2倍角の公式に帰着させて解かざるを得ない。

\int \sin^3 x dx は y=\cos x, \int \cos^3 x dx は y=\sin x と変数変換して積分する。

もちろん３倍角の公式を用いても解けるが、あまり一般性が無い様に思える。

y=\cos xとおくとdy=-\sin x dxなので、\int \sin^3x dx=\int(1-y^2)(-dy)=\frac13y^3-y+C=\frac13\cos^3x-\cos x+C

部分積分で求める[2009.2.1]


n≧2のとき
\int(\sin x)^ndx
=\int(-\cos x)^{\prime}(\sin x)^{n-1}dx
=-\cos x(\sin x)^{n-1}-\int(-\cos x)\left((n-1)(\sin x)^{n-2}(\cos x)\right)dx
=-\cos x(\sin x)^{n-1}+(n-1)\int(\cos x)^2(\sin x)^{n-2}dx
=-\cos x(\sin x)^{n-1}+(n-1)\int(1-(\sin x)^2)(\sin x)^{n-2}dx
=-\cos x(\sin x)^{n-1}+(n-1)\int(\sin x)^{n-2}dx-(n-1)\int(\sin x)^{n}dx
\Longrightarrow n\int(\sin x)^{n}dx=-\cos x(\sin x)^{n-1}+(n-1)\int(\sin x)^{n-2}dx
\Longleftrightarrow \int(\sin x)^{n}dx=-\frac{1}{n}\cos x(\sin x)^{n-1}+\frac{n-1}{n}\int(\sin x)^{n-2}dx
n=2のとき\int(\sin x)^{2}dx=-\frac{1}{2}\cos x\sin x+\frac{1}{2}\int dx=-\frac{1}{2}\cos x\sin x+\frac{1}{2}x+C
n=3のとき\int(\sin x)^{3}dx=-\frac{1}{3}\cos x(\sin x)^{2}+\frac{2}{3}\int\sin xdx=-\frac{1}{3}\cos x(\sin x)^{2}-\frac{2}{3}\cos x+C
n=4のとき\int(\sin x)^{4}dx=-\frac{1}{4}\cos x(\sin x)^{3}+\frac{3}{4}\int(\sin x)^{2}dx=-\frac{1}{4}\cos x(\sin x)^{3}+\frac{3}{4}\left(-\frac{1}{2}\cos x\sin x+\frac{1}{2}x+C\right)


[2009.7.21]部分積分の元をたどると次のような計算もできる（n≧2）
\left(-(\sin x)^{n-1}\cos x\right)^\prime = (\sin x)^{n}-(n-1)(\sin x)^{n-2}(\cos x)^2 = n (\sin x)^{n}-(n-1)(\sin x)^{n-2}
\Longrightarrow -(\sin x)^{n-1}\cos x = n \int(\sin x)^{n}dx-(n-1)\int(\sin x)^{n-2}dx
あとは上の計算と同様