加法定理の証明に関するメモ

図形的な証明で第1象限の角ならば、次の図で説明するくらいが計算と考え方のシンプルさで適当か。

図左：AP=RQ, AP²=(1-cos(α+β))²+(sin(α+β))², RQ²=(cosα-cos(-β))²+(sinα-sin(-β))² 出典：モノグラフ公式集

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図右：[方針] 図の AH=h=a cosα=b cosβ に気づいた上で三角形の面積の和を用いる。 S_ABC=S_AHC+S_AHB, 2S_ABC=ab sin(α+β), 2S_AHC=bh sinβ=b(a cosα)sinβ, 2S_AHB=ah sinα=a(b cosβ)sinα 出典：どこかの数学のサイト（履歴を取ってなかった。ごめんなさい）

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ちょっと技巧的な図形的証明→Trigonometric Addition Formulas -- from Wolfram MathWorld

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[2010.8.9]図右を用いて cos の加法定理を示すには、余弦定理 a²+b²-2ab cos(α+β)=(a sinα+b sinβ)²を展開して
a²+b²-2ab cos(α+β)=a² sin²α + 2ab sinα sinβ + b² sin²β
⇒　a² cos²α + b² cos²β - 2ab cos(α+β) = 2ab sinα sinβ
⇒　a cosα (b cosβ) + b cosβ (a cosα) - 2ab cos(α+β) = 2ab sinα sinβ
⇒　2ab cos(α+β) = 2ab cosα cosβ - 2ab sinα sinβ
⇒　cos(α+β) = cosα cosβ - sinα sinβ