テイラー展開の証明のアウトライン - あらきけいすけの雑記帳

講義の準備のための覚書。Langの解析入門原書第3版(isbn:4000051512)には「後退する」部分積分を繰り返してTaylor展開の剰余項をくくり出す技法が書かれている。
$\displaystyle f(b)-f(a)=\int_a^bf^\prime(x)dx$
$\displaystyle=\int_a^bf^\prime(x)(-(b-x))^\prime dx$
$\displaystyle=\left[f^\prime(x)(-(b-x))\right]_a^b-\int_a^bf^{\prime\prime}(x)(-(b-x))dx$
$\displaystyle=f^\prime(a)(b-a)+\int_a^bf^{\prime\prime}(x)(-\frac{(b-x)^2}{2})^\prime dx$
$\displaystyle=f^\prime(a)(b-a)+\left[f^{\prime\prime}(x)(-\frac{(b-x)^2}{2})\right]_a^b+\int_a^b f^{(3)}(x)(-\frac{(b-x)^2}{2!}) dx$
$\displaystyle=f^\prime(a)(b-a)+f^{\prime\prime}(x)\frac{(b-a)^2}{2}+\int_a^b f^{(3)}(x)(-\frac{(b-x)^3}{3!})^\prime dx$
$\displaystyle=f^\prime(a)(b-a)+f^{\prime\prime}(x)\frac{(b-a)^2}{2}+\cdots+f^{(n-1)}\frac{(b-a)^{n-1}}{(n-1)!}+\int_a^b f^{(n)}(x)(-\frac{(b-x)^{n-1}}{(n-1)!}) dx$
(Langに沿っているのはここまで) ここから関数 $\displaystyle F(x):=K\frac{(b-x)^n}{n!}-\int_x^b f^{(n)}(t)(-\frac{(b-t)^{n-1}}{(n-1)!}) dt$ を構成する。この関数は $F(b)=0$ であり、 $F(a)=0$ が剰余項の係数を決める式である。区間 $[a,b]$ の両端の値が一致していて、滑らかな関数であるので、Rollの定理から係数 $K$ を決定すると $K=f^{(n)}(c)$ （ただし $a\lt c\lt b$ ）が在ることが分かる。(この部分はLangと違って、そこらの日本語の微分積分学の教科書でよく見る論法。)