式の特徴を見てみる - あらきけいすけの雑記帳

HINOKIさんから

どうしても解けない問題があって困っています。私は文系なので、数学IAIIBでの解法を教えてくださらないでしょうか。どうぞよろしくお願いします。数式を入力できないので問題を画像でアップしました↓。
http://upload.fam.cx/cgi-bin/img-box/ck4100308123850.jpg

というリクエストを頂いたのでがんばってみる。まず問題を書き写しておこう：

x,yが2つの不等式x≦2y,y≦-x²+3x-1/4を満たすとき, $\frac{x^2}{2x^2-2xy+y^2}$ のとりうる値の最大値,最小値を求めよ。

ここでまず数式をぢっと見つめる。 $\frac{x^2}{2x^2-2xy+y^2}$ .分母, 分子に表れる式が全部2次で、しかも分母は平方完成か何かすれば正の値にまとまりそうな気配だ。えいやっ
$\frac{x^2}{2x^2-2xy+y^2}=\frac{x^2}{x^2+(x^2-2xy+y^2)}=\frac{x^2}{x^2+(x-y)^2}\frac{\frac{1}{x^2}}{\frac{1}{x^2}}=\frac{1}{1+(1-\frac{y}{x})^2}$
と式変形できて、x,yが一箇所にまとまった。ここから y/x の最大値と最小値を出せばいいとわかる。「こんな式変形思いつくかっ！」と言いたくなるが、式の特徴からして、まあ最初に思いついて欲しい切り口はこんなものだろう。

ここで y/x=C とおくと、y=Cx だから、これは「原点を通る傾きCの直線」だ。これが不等式x≦2y,y≦-x²+3x-1/4の表す領域を串刺しにできる傾きCの範囲を調べればいい。
不等式の表す領域を調べてみよう。http://www34.wolframalpha.com で ContourPlot[{x==2y,y==-x^2+3x-1/4,y==2x},{x,0,3},{y,0,3}] と計算をやらせるとこんな図になる。ベタ塗りの部分が問題文の不等式の領域。（この辺は自分でも絵を描いてみてね）
この図より直線 y=Cx がこのベタ塗りを串刺しに出来る傾きは 1/2≦C≦2 であると分かる。最小値の 1/2 はベタ塗りの下の直線、最大値の 2 は放物線 y=-x²+3x-1/4 に接する原点を通る直線の式の傾きだ。（接線の傾きは自分で解いてみてね）
だから $\frac12\leq\frac{y}{x}\leq2$ となる。
だから $-1\leq(1-\frac{y}{x})\leq\frac12$ となる。
だから $0\leq(1-\frac{y}{x})^2\leq1$ となる。
だから $1\leq1+(1-\frac{y}{x})^2\leq2$ となる。
だから $\frac12\leq\frac{1}{1+(1-\frac{y}{x})^2}\leq1$ となる。
というわけで $\frac12\leq\frac{x^2}{2x^2-2xy+y^2}\leq1$ である。