直線の媒介変数表示とその一次変換 - あらきけいすけの雑記帳

直線 $y=ax+b\,\,\Longleftrightarrow\,\,\left(\begin{array}{l}x\\y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}t\\at+b\end{array}\right)$ 　(ただし $t$ は任意の実数)*1

簡単な例だと

直線 $y=3x-1$ $\Longleftrightarrow$ $\left( \begin{array}{l} x \\ y \end{array} \right)=\left(\begin{array}{l}t\\3t-1\end{array}\right)$ 　(ただし $t$ は任意の実数)

かつて「一次変換」が高校数学の教程に入っていたとき、この書き換えは行列が特異でも使える技法として教えてたんだけど。たとえば

問題：直線 $y=3x-1$ を行列 $\left(\begin{array}{ll}1&3\\2&4\end{array}\right)$ で写したグラフを求めよ
解答 $y=3x-1$ $\Longleftrightarrow$ $\left(\begin{array}{l}x\\y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}t\\3t-1\end{array}\right)$ (ただし $t$ は任意の実数)より、一次変換後の像は
$\left(\begin{array}{l}X\\Y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}1&3\\2&4\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}x\\y\end{array}\right)$ $=\left(\begin{array}{ll}1&3\\2&4\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}t\\3t-1\end{array}\right)$ $=\left(\begin{array}{l}10t-3\\14t-4\end{array}\right)$
これより
$\left\{\begin{array}{r}X=10t-3\\Y=14t-4\end{array}\right.$ $\Longrightarrow$ $\displaystyle\frac{X+3}{10}=\frac{Y+4}{14}$ $\Longrightarrow$ $7X-5Y+1=0$

この書き換えって、 $x$ の一次関数の話が $(x,y)$ 平面上の点集合の話に化けてて、その割にはその意味の転換に無頓着なまんまだよな。

*1:これは $\left(\begin{array}{l}x\\y\end{array}\right)=t\left(\begin{array}{l}1\\a\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}0\\b\end{array}\right)$ と書き換えられる。ここで媒介変数がついている項のベクトルを「直線の方向ベクトル」という。