２×２行列のｎ乗 - あらきけいすけの雑記帳

3項間漸化式が解ける人ならば２×２行列のｎ乗も解ける。というのも２×２行列の場合のケーリー・ハミルトンの公式を考えてみよう：

$A=\left(\begin{array}{rr}a&b\\c&d\end{array}\right)$ のとき $A^2-(a+d)A+(ad-bc)E=O$ .

これの両辺に $A^n$ を掛け算すると次の式を得る：

$A^{n+2}-(a+d)A^{n+1}+(ad-bc)A^n=O$ .

この式を見たときに、3項間前科式 $a_{n+2}-(\alpha+\beta)a_{n+1}+\alpha\beta a_n=0$ と形がまったく一緒じゃないかということに気が付くはずだ（というか、気付けよ）。この漸化式の答えが次のようになる：

$a_{n+2}-(\alpha+\beta)a_{n+1}+\alpha\beta a_n=0$ $\Longrightarrow$ $\large a_{n}=\frac{(a_1-\beta a_0)\alpha^n-(a_1-\alpha a_0)\beta^n}{\alpha-\beta}$

これが分かっていれば $a$ を $A$ に、下付き添え字を上付き添え字に切り替えれば答えが出る：

$A^{n+2}-(a+d)A^{n+1}+(ad-bc)A^n=0$ $\Longrightarrow$ $\large A^{n}=\frac{\alpha^n}{\alpha-\beta}(A-\beta E)-\frac{\beta^n}{\alpha-\beta}(A-\alpha E)$ 　ただし $\alpha+\beta=a+d$ , $\alpha\beta=ad-bc$ .

もちろんここで「 $\alpha,\beta$ の値はいくらですか？（ここを嫁）」「 $\alpha=\beta$ だったらどうするんですか？」とツッコんではいけない。「自分でやれよ！」と切り返されるだけだからである。