グラフの拡大・縮小・平行移動(書きかけ)
数学のツボって何だろう?「(グラフ、図形という名の)イラスト、イメージ」と「(数式という名の)文」の繋がりを覚えること…という気もする。叙景詩の世界と言えなくもない*1。
その中で基本になるのがこれ:
元のグラフを「右に*2」だけ平行移動する。グラフを表す式の中のをに置き換える。
上下方向はというと
元のグラフを「上に」だけ平行移動する。グラフを表す式の中のをに置き換える。
もちろんこれだけでは足りなくてグラフを上下左右に拡げたり、縮めたりする操作も必要。
元のグラフを「左右に」倍にする。をに置き換える。
元のグラフを「上下に」倍にする。をに置き換える。
気をつけなくてはいけないことがある。この計算では原点を中心として左右、上下に拡大、縮小が起こる。だから上下、左右への移動の操作は、拡大、縮小の操作を行なった「後に」にやらないといけない。
[この辺、いろいろ書く予定]
これがなぜ大切かというと、「同じ〈形〉とは何か」について語っているからである。「同じ形」というのは、数学的には「アファイン変換 (affine transformation, *3 ) で互いに相手に移ること」と言える。式の見た目は違っていても、絵に描くと似たような形となることがよくある。この意味で式: で表される放物線は全部同じ形をしている。右の図は座標軸を全く描かずに放物線を描いたものである。この形から係数 を決めたくても決めようがない。というのもと式変形をやろうと思えばできる。これから
放物線: は、放物線: を「x-方向に だけ平行移動」、「y-方向に 倍拡大し、それを だけ平行移動*4」した図形
と言える。放物線のグラフを描くときには「座標軸を描いて、放物線を描く」のではなく「放物線を先に描いて、それとつじつまが合うように座標軸を描く」ときれいに描ける*5。