グラフの拡大・縮小・平行移動(書きかけ)

数学のツボって何だろう？「(グラフ、図形という名の)イラスト、イメージ」と「(数式という名の)文」の繋がりを覚えること…という気もする。叙景詩の世界と言えなくもない*1。

その中で基本になるのがこれ：

元のグラフを「右に^*2」 $a$ だけ平行移動する。 $\Longleftrightarrow$ グラフを表す式の中の $x$ を $x-a$ に置き換える。

上下方向はというと

元のグラフを「上に」 $b$ だけ平行移動する。 $\Longleftrightarrow$ グラフを表す式の中の $y$ を $y-b$ に置き換える。

もちろんこれだけでは足りなくてグラフを上下左右に拡げたり、縮めたりする操作も必要。

元のグラフを「左右に」 $c$ 倍にする。 $\Longleftrightarrow$ $x$ を $\large\frac{x}{c}$ に置き換える。
元のグラフを「上下に」 $d$ 倍にする。 $\Longleftrightarrow$ $y$ を $\large\frac{y}{d}$ に置き換える。

気をつけなくてはいけないことがある。この計算では原点を中心として左右、上下に拡大、縮小が起こる。だから上下、左右への移動の操作は、拡大、縮小の操作を行なった「後に」にやらないといけない。

[この辺、いろいろ書く予定]

これがなぜ大切かというと、「同じ〈形〉とは何か」について語っているからである。「同じ形」というのは、数学的には「アファイン変換 (affine transformation, *3 ) で互いに相手に移ること」と言える。

放物線の図

式の見た目は違っていても、絵に描くと似たような形となることがよくある。この意味で式: $y=ax^2+bx+c$ で表される放物線は全部同じ形をしている。右の図は座標軸を全く描かずに放物線を描いたものである。この形から係数 $a,b,c$ を決めたくても決めようがない。というのも

$y=ax^2+bx+c$ $\Longleftrightarrow$ $\large\frac{y-\left(\frac{4ac-b^2}{4a}\right)}{a}=\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2$

と式変形をやろうと思えばできる。これから

放物線: $y=ax^2+bx+c$ は、放物線: $y=x^2$ を「x-方向に $-\frac{b}{2a}$ だけ平行移動」、「y-方向に $a$ 倍拡大し、それを $\frac{4ac-b^2}{4a}$ だけ平行移動*4」した図形

と言える。放物線のグラフを描くときには「座標軸を描いて、放物線を描く」のではなく「放物線を先に描いて、それとつじつまが合うように座標軸を描く」ときれいに描ける*5。

*1:「表現に融通がきかないじゃないか」というツッコミは今はなし。

*2: $(x,y)$ 座標を考えている。 $x$ -軸は左から右に、 $y$ -軸はしたから上にいくと数字が大きくなるとする。

*3:「回転変換はどうした？」というツッコミや、英語のページにリンク張るなというツッコミは今はなし。それ以上に「円」と「楕円」を同じ形と見なすのは無理じゃないのか、というツッコミもあるだろう。

*4:「拡大」と「平行移動」の順番を変えると話が狂う。

*5:この辺は、文章が「結論を先に書いて」、後から「前振りの文章」を考える方が、出だしの文章で苦しむより楽なことに似ているかもしれない。