完全流体の運動方程式(Euler方程式) - あらきけいすけの雑記帳

1成分の等方性流体の一般の曲線座標系、すなわち*1Riemann計量( $g_{ij}$ )を備えた空間 $\cal{M}$ で速度場の反変成分( $u=u^{\alpha}\partial_{\alpha}$ )に対する表示*2:
　　 $\large g_{i\alpha}\left(\frac{\partial}{\partial t} + u^{\beta}\frac{\partial}{\partial x^{\beta}} \right)u^{\alpha} + \left(\frac{\partial g_{i\beta}}{\partial x^{\alpha}} - \frac{1}{2}\frac{\partial g_{\alpha\beta}}{\partial x^{i}}\right)u^{\alpha}u^{\beta}=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x^i}$ ,
$\rho$ は流体の密度、 $p$ は流体の圧力。作用積分の変分(Hamiltonの原理)から導出できる*3。balotropicの仮定はいらない。配位空間の接空間がLie代数をなすので、これが $\cal{M}$ 上のAffine接続の役割を果たしている*4。

*1:すなわち？

*2:「教科書」には(例えば球座標のような)局所直交座標系の正規直交基底に関する成分に対する表示が載っている。3次元の球座標ならば $g=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&r^2&0\\0&0&r^2\sin^2\theta\end{array}\right)$ とかいろいろ代入すれば求まる。

*3:LagrangianはN粒子のもの $L=\sum\frac{1}{2}m|v_i|^2-V$ の連続体極限で定義している(ポテンシャルのところは内部エネルギー $U(N,S,V)$ に置き換える)。変分計算で空間の3次元性が効く部分はなかったはずなので任意の次元で多分、成り立つ式。

*4:この方程式を何かAffine接続 $\nabla$ があると仮定して強引に $\left(\frac{\partial}{\partial t}+u^{\alpha}\nabla_{\alpha}\right)u^{i}=-\frac{g^{i\alpha}}{\rho}\nabla_{\alpha} p$ と書き直すと、 $\nabla$ がLie微分や右移動ではなく、 $({\cal{M}},g)$ 上のLevi-Civita接続に伴う共変微分になってしまう。なんか不思議。座標変換に対する不変性ならAffine接続なら何でも成り立つ。「 $g$ が絡むからLevi-Civita」なんて説明になってないし。