指数関数の導関数 - あらきけいすけの雑記帳

指数関数とは $f(x+y)=f(x)f(y)$ を満たす関数なので、 $f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x+0)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{f(x)f(h)-f(x)f(0)}{h}=f(x)\lim_{h\to0}\frac{f(h)-f(0)}{h}=f(x)f'(0)$ となる。つまり導関数が $f'(x)\propto f(x)$ という特徴を持つ。このような関数の簡単な例は（細かい収束の議論を無視して）無限級数で簡単に作れて $f(x)=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^k}{k!}+\cdots$