分数関数 1/(1+x2) の積分 - あらきけいすけの雑記帳

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積分 $\displaystyle\int\frac{dx}{1+x^2}$ を計算しよう。*1

方針： $x=\tan\theta$ とおき、置換積分をする。*2

まず $dx$ の置き換えを計算する：

$x=\tan\theta$ の両辺を $\theta$ で微分して $\displaystyle\frac{dx}{d\theta}=\frac{1}{\cos^2\theta}$ $\Longrightarrow$ $\displaystyle dx=\frac{d\theta}{\cos^2\theta}$

ついで $1+x^2$ の置換を計算する

$\displaystyle1+x^2$ $\displaystyle=1+\tan^2\theta$ $\displaystyle=1+\frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta}$ $\displaystyle=\frac{1}{\cos^2\theta}$ $\Longrightarrow$ $\displaystyle\frac{1}{1+x^2}=\cos^2\theta$

したがって不定積分は

$\displaystyle\int\frac{dx}{1+x^2}=\int \underbrace{\cos^2\theta}_{\frac{1}{1+x^2}} \underbrace{\frac{d\theta}{\cos^2\theta}}_{dx}$ $\displaystyle=\int d\theta$ $=\theta+C$ $=\tan^{-1}x+C$

ここで $\tan^{-1}$ は $\tan$ の逆関数 *3。逆三角関数の記号は高校の教程には出てこない。でも逆三角関数を解く問題、例えば $\displaystyle\tan\theta=\sqrt{3}$ $\Longrightarrow\theta$ $\displaystyle=\frac{\pi}{3}+n\pi$ という計算は解かせられる。この問題を「 $\tan^{-1}\sqrt{3}$ の値を求めよ」と書いて出題できないだけである。
定積分なら次のような計算になる： $\displaystyle\small\int_0^1\frac{dx}{1+x^2}=\int_0^{\pi/4}d\theta=\big[\theta\big]_0^{\pi/4}=\frac{\pi}{4}$

∫dx/(1+x^2)の図形的な意味

*4底辺の長さが1, 高さが $h$ の直角三角形の底角を $\theta$ と置くと、 $\small\displaystyle\theta=\int_0^h\frac{dx}{1+x^2}$ であたえられる。つまり $\small\displaystyle y=\frac{1}{1+x^2}$ のグラフの $0\leq x\leq h$ の面積を数値的に計算すれば、任意の直角三角形の形状から、その底角の大きさの数値を求められると分かる。
この応用として東京大学の2003年度入試の理系数学*5の6番「円周率が3.05より大きいことを証明せよ」を底辺が1, 高さが $1/\sqrt3$ の直角三角形の底角の大きさが $\pi/6$ ラジアンであることを用いて解く。
$\small\displaystyle f(x):=\frac{1}{1+x^2}$ は区間 $[0,1/\sqrt3]$ で上に凸なので*6、2個の台形*7
(1): $\{(0,0), (0,f(0)), (\sqrt3/6,f(\sqrt3/6)), (\sqrt3/6,0)\}$ ,
(2): $\{(\sqrt3/6,0), (\sqrt3/6,f(\sqrt3/6)), (\sqrt3/3, f(\sqrt3/3)), (\sqrt3/3, 0)\}$
の面積を求めて
$\small\displaystyle\frac{\pi}{6}=\int_0^{1/\sqrt3}\frac{dx}{1+x^2}$ $>$ $\underbrace{ \left(\frac{f(0)}{2}+f\left(\frac{\sqrt3}{6}\right)+\frac{f(1/\sqrt3)}{2}\right)\frac{\sqrt3}{6} }_{台形2個の面積}$ $=\left(\frac{1}{2}+\frac{12}{13}+\frac{3}{8} \right) \frac{\sqrt3}{6}$ $\Longrightarrow$ $\small\displaystyle\pi$ $>$ $\frac{52+96+39}{104}\sqrt3$ $=$ $\frac{187}{104}\sqrt3$ $>$ $1.79\times1.73 = 3.0967 > 3.05$

複素関数を知っている人は

$\displaystyle\frac{1}{1+x^2}=\frac12\left(\frac{1}{1+ix}+\frac{1}{1-ix}\right)$ より $\displaystyle\int\frac{dx}{1+x^2}=\frac{1}{2i}\left(\log(1+ix)-\log(1-ix)\right)+C$ より $1+ix$ , $1-ix$ の位相を求めて $\tan^{-1}x + C$ .
[2011.10.12] 複素数の場合の計算のラフスケッチをしよう。 $1+ix$ を $1+ix=\sqrt{1+x^2}\exp(i\phi)$ と極座標表示をすると、 $\displaystyle\log(1+ix)=\frac12\ln(1+x^2)+i\phi$ となる。同様に $\displaystyle\log(1-ix)=\frac12\ln(1+x^2)-i\phi$ となる。ここで極座標の位相(偏角)は $\phi=\tan^{-1}x$ となるので、 $\displaystyle\frac{1}{2i}\left(\log(1+ix)-\log(1-ix)\right)$ $\displaystyle=\frac{1}{2i}\left(\frac12\ln(1+x^2)+i\phi-\frac12\ln(1+x^2)+i\phi\right)$ $\displaystyle=\phi=\tan^{-1}x$ となる。

*1:[2020.1.25]『高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説数学編理数編』p.80 には「置換積分法は $ax＋b＝t$ ， $x＝a\sin\theta$ と置き換えるものを中心に扱うものとする。」との記載があるので、入試には誘導問を付けないと出しにくいのではないか。

*2:分数関数の積分の方針の立て方：1/(1+x2), 1/(1-x2)の積分 - あらきけいすけの雑記帳

*3:[2019.6.1] Inverse trigonometric functions - Wikipedia 三角関数の逆関数は多価関数なので、値域は $\tan^{-1}0=0$ を含む枝を取る。 $\arctan x$ とも書く（こちらが主流かも）。C言語やExcelでは atan(x) で実装されている。

*4:この項は2020.1.22に追加。

*5:東大は関数の値を数値的に評価する入試問題を出すことがある。

*6: $\small \displaystyle f'(x)=\frac{-2x}{(1+x^2)^2}$ , $\small \displaystyle f''(x)=\frac{-2+6x^2}{(1+x^2)^2}$ となる。上に凸の区間ならばグラフ上の点を結んで台形を作って、面積の値を「下から」評価することができる。

*7:台形公式 - Wikipedia 定積分の値を数値計算を用いて求める方法の一つ。