1/√(x2+a2)の積分

微分・積分

教育用の覚書。置換積分を用いて解く。\sqrt{x^2+a^2}=t-x とおいて t の積分に書き換える*1*2。この置き換えでは

  • tをxの式で表すと　t=x+\sqrt{x^2+a^2}
  • xをtの式で表すと　\displaystyle x=\frac{t^2-a^2}{2t}
  • ↑この式よりdxの変換は　\displaystyle dx=\frac{t^2+a^2}{2t^2}dt
  • \sqrt{x^2+a^2}をtの式で表すと　\displaystyle \sqrt{x^2+a^2}=\frac{t^2+a^2}{2t}
これらを代入してxの式をtの式に書き換える。
例題　\displaystyle \int\frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}} \displaystyle= \int\frac{2t}{t^2+a^2}\frac{t^2+a^2}{2t^2}dt \displaystyle= \int\frac{dt}{t} \displaystyle= \ln(t)+C \displaystyle= \ln(x+\sqrt{x^2+a^2})+C
「対数に絶対値が無い！」なんて言わないように、そこの君！
例題　∫[{(4+x^2)^(1/2)}/x]dx という不定積分の問題です。どなたか解ける方、解... - Yahoo!知恵袋
この知恵袋の回答は x=2\tan\theta と置いているが、これはもう一回置換をしないといけないので、少々回り道である。
\displaystyle\int\frac{\sqrt{x^2+a^2}}{x}dx \displaystyle= \int\frac{t^2+a^2}{2t}\frac{2t}{t^2-a^2}\frac{t^2+a^2}{2t^2}dt \displaystyle= \int\frac{(t^2+a^2)^2}{2t^2(t^2-a^2)}dt
ここで被積分関数は\displaystyle\frac{(t^2+a^2)^2}{2t^2(t^2-a^2)} \displaystyle= \frac{(t^2-a^2)^2+4a^2t^2}{2t^2(t^2-a^2)} \displaystyle= \frac{t^2-a^2}{2t^2} + \frac{2a^2}{t^2-a^2} \displaystyle= \frac{1}{2} - \frac{a^2}{2t^2} + a\left( \frac{1}{t-a} - \frac{1}{t+a} \right)
だからtの不定積分は\displaystyle\frac{t}{2} + \frac{a^2}{2t} + a\ln\left| \frac{t-a}{t+a} \right| + C \displaystyle= \frac{t^2+a^2}{2t} + a\ln\left| \frac{t-a}{t+a} \right| + C
xの式に戻すと\displaystyle\frac{t^2+a^2}{2t} + a\ln\left| \frac{t-a}{t+a} \right| + C \displaystyle= \sqrt{x^2+a^2} + a\ln\left| \frac{\sqrt{x^2+a^2}+x-a}{\sqrt{x^2+a^2}+x+a} \right| + C
Mathematicaの答え(Wolfram|Alpha)と食い違うなんて言わないように、そこの君！\displaystyle\frac{\sqrt{x^2+a^2}+x-a}{\sqrt{x^2+a^2}+x+a} \displaystyle=\frac{x}{a+\sqrt{x^2+a^2}}

*1:ハイラー,ワナー,『解析教程』,II.5.2 [isbn:9784621062036]によれば、積分\int R(\sqrt{ax^2+bx+c},x)dxに対してax^2+bx+c=a(x-t)^2と置換するというアイディアはオイラー,『積分法１(Institutionum Calculi Integralis)』§88によるそうだ。

*2:[追記:2020.6.19]東京大学 理系 2019年度 第1問 \small\displaystyle\int_0^1\left(x^2+\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right)\left(1+\frac{x}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}}\right)dx はこの置換を用いるとドツボにはまる。この問題は丁寧に展開すると、置換t=\sqrt{1+x^2}と積分\small\displaystyle\int_0^1\frac{dx}{1+x^2}（分数関数 1/(1+x2) の積分 - あらきけいすけの雑記帳）の知識で解ける。