テイラー展開で微分方程式 y'=y の解を求める

$x$ の関数 $y=y(x)$ が

微分方程式 $y'=y$

を満たすとき、方程式の解を求めてみる。この微分方程式が任意の $x$ で成り立つと仮定すると、 $y=y'=y''=...$ が成り立つから、これの $x=0$ での値をテイラー級数の式に代入すると

$y(x)=y(0)+y'(0)x+\frac{y''(0)}{2!}x^2+...=y(0)\left(1+x+\frac{x^2}{2!}+...\right)=y(0)e^x$

を得る。もちろん議論の進め方としてはガサツである。これと同様の議論は微分方程式が $y$ とその導関数の線形結合で表される場合に簡単に拡張できる。ここに計算の概略を書いている。[2007.6.4]