log(x)の微分 - あらきけいすけの雑記帳

$\frac{\log(x+h)-\log x}{h}=\frac{\large 1}{\large x}\log(1+\frac{h}{x})^{x/h}$ であるから、この $x/h\to\infty$ の極限をとって

$\lim_{h\to0}\frac{\log(x+h)-\log x}{h}=\lim_{h\to0}\frac{\large 1}{\large x}\log(1+\frac{h}{x})^{x/h}=\frac{\large 1}{\large x}\times\log e=\frac{\large 1}{\large x}$

ここで自然対数の底eの公式 $\lim_{h\to0}(1+h)^{1/h}=e$ を用いる。
対数関数の微分が1/xになる深い理由についてはここに書いた：対数関数を作る - あらきけいすけの雑記帳、積分によって定義された対数法則を満たす関数の覚書 - あらきけいすけの雑記帳