三角関数の合成 - あらきけいすけの雑記帳

三角関数関連の公式は、高校のときにわけも分からず覚えさせられて、かなり「苦しんだ」記憶がある。たとえば三角関数の合成の式：

$a\sin x + b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\phi)$
ここで　 $\cos\phi=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$ , $\sin\phi=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$

まあ高校数学の公式としては「応用」扱いなので、先生もドリルやったりとか、熱心には教えてくれなかったような…。この公式を知っていないと

$y=e^{ax}\sin(bx)$ の極値を求めよ

なんて問題への対応が大変になる。
今にして思えば、最初に加法定理の応用として導入してくれればよかったのに。つまり公式を覚える際に二つのツボがある：

次の4個の公式があり得る：
$a\sin x + b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\phi)$
$a\sin x + b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin(x-\phi_1)$
$a\sin x + b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\cos(x+\phi_2)$
$a\sin x + b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\cos(x-\phi_3)$

$a$ , $b$ をわざと平面上の座標のように解釈して、直交座標から極座標への書き換え
$(a,b)=(r\cos\phi,r\sin\phi)$ 　(ただし $r=\sqrt{a^2+b^2}$ )
をする(これだと $a\sin x + b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\phi)$ が導かれる)