2階導関数の符号と凸について - あらきけいすけの雑記帳

教育用の覚え。 $\small a < x < b$ で $\small f ''(x)>0$ ならば、 $\small f '(x)$ は単調増加なので $\small f '(a) < f '(x) < f '(b)$ である。これより $\small\displaystyle\int_a^bf'(a)dx<\int_a^bf'(x)dx<\int_a^bf'(b)dx$ $\small\Longrightarrow$ $\small(b-a) f '(a) < f(b)−f(a) < (b-a) f '(b)$ である。ここで関数 $\small F(t)：＝ f( (1-t)a + tb ) - [ (1-t) f(a) + t f(b) ]$ を考える。まず $\small F(0)=F(1)=0$ である。導関数は $\small F '(t)＝(b-a) f '( (1-t)a + tb ) - [ f(b) - f(a) ]$ であるから、 $\small F '(0)<0$ , $\small F '(1)>0$ となる。だからグラフが 0 $\searrow\nearrow$ 0 となるので、 $\small F(t)<0$ となる。だから $a＜x＜b$ で $\small y＝f(x)$ のグラフは2点 $(a,f(a))$ , $(b,f(b))$ を結ぶ直線より下にある。