4項間漸化式の解法

数列 数と式

a_{n+3} + A a_{n+2} + B a_{n+1}+ C a_{n}=0の特性方程式\lambda^{3} + A \lambda^{2} + B \lambda+ C =0の左辺の3次多項式が(\lambda-\alpha)(\lambda-\beta)(\lambda-\gamma)と因数分解できて、解に重複がないと前提して計算してみる。まず漸化式は次のように式変形できる：

a_{n+2} - (\alpha+\beta) a_{n+1} + \alpha \beta a_{n}=\gamma(a_{n+1} - (\alpha+\beta) a_{n} + \alpha \beta a_{n-1})
この漸化式を繰り返し適用することで次式が得られる
a_{n+2} - (\alpha+\beta) a_{n+1} + \alpha \beta a_{n}=\gamma^{n-1}(a_{3} - (\alpha+\beta) a_{2} + \alpha \beta a_{1})
これは\beta, \gammaに関しても同様なので、結局
a_{n+2} - (\alpha+\beta) a_{n+1} + \alpha \beta a_{n}=\gamma^{n-1}(a_{3} - (\alpha+\beta) a_{2} + \alpha \beta a_{1})
a_{n+2} - (\beta+\gamma) a_{n+1} + \beta \gamma a_{n}=\alpha^{n-1}(a_{3} - (\beta+\gamma) a_{2} + \beta \gamma a_{1})
a_{n+2} - (\gamma+\alpha) a_{n+1} + \gamma \alpha a_{n}=\beta^{n-1}(a_{3} - (\gamma+\alpha) a_{2} + \gamma \alpha a_{1})
を得る。これらはa_{n+2},a_{n+1},a_{n}の連立一次方程式なので、これを解いてa_{n}を取り出すと
a_{n}=\frac{P\gamma^{n-1}}{(\alpha-\gamma)(\beta-\gamma)}+\frac{Q\alpha^{n-1}}{(\beta-\alpha)(\gamma-\alpha)}+\frac{R\beta^{n-1}}{(\beta-\alpha)(\beta-\gamma)}
ここで
P=a_{3} - (\alpha+\beta) a_{2} + \alpha \beta a_{1}
Q=a_{3} - (\beta+\gamma) a_{2} + \beta \gamma a_{1}
R=a_{3} - (\gamma+\alpha) a_{2} + \gamma \alpha a_{1}