3項間漸化式

固有値が重解(これを固有値が縮退しているという)の場合
例として a_{n+1}-2\alpha a_{n}+\alpha^2 a_{n-1}=0 を考える。
全体を\alpha^{n+1}で割り算して整理すると、b_{n+1}-b_{n}=b_{n}-b_{n-1}=\cdots=b_{1}-b_{0} (ここで b_{n}=\Large\frac{a_{n}}{\alpha^n})となる。これより b_{n}=b_{n-1}+b_{1}-b_{0} である。この式を再帰的に代入していくと
\begin{eqnarray}b_{n}&=&(b_{n-2}+b_{1}-b_{0})+b_{1}-b_{0}=b_{n-2}+2(b_{1}-b_{0})\\&=&((b_{n-3}+b_{1}-b_{0})+b_{1}-b_{0})+b_{1}-b_{0}=b_{n-3}+3(b_{1}-b_{0})\\&=&\cdots\\&=&b_{0}+n(b_{1}-b_{0})\end{eqnarray}
この両辺に\alpha^nを掛け算して a_{n}=\alpha^n a_{0}+n\alpha^{n-1}(a_{1}-\alpha a_{0}) となる。
２×２行列のｎ乗への応用を２×２行列のｎ乗(固有値が重解の場合) - あらきけいすけの雑記帳に記した。

行列を用いて解く[2009.8.2]

漸化式は行列を用いて書くと次のようになる：\left(\begin{array}{l} a_{n} \\ a_{n+1} \end{array}\right) = \left(\begin{array}{rr} 0 & 1 \\ -\alpha^2 & 2\alpha \end{array}\right) \left(\begin{array}{l} a_{n-1} \\ a_{n} \end{array}\right).この行列をAと置くとAの固有値λはλ＝αの重解である。その一般左固有ベクトルを求めよう。まず固有ベクトルは\vec{e_1}(A-\lambda I) = (x,y) \left(\begin{array}{rr} -\alpha & 1 \\ -\alpha^2 & \alpha \end{array}\right) = \vec{0}より\vec{e_1}=(\alpha,-1)である。次の一般固有ベクトル\vec{e}_2は連立一次方程式\vec{e_2}(A-\lambda I) = (x,y) \left(\begin{array}{rr} -\alpha & 1 \\ -\alpha^2 & \alpha \end{array}\right) = \vec{e}_1 = (\alpha,-1)の解である。これより x + \alpha y = -1であるから、解は(x,y)=(-1-\alpha t,t) (tは任意の実数)である。tのかかっている項は\vec{e}_1と平行なので t=0 の場合を一般左固有ベクトル\vec{e}_2=(-1,0)にとる*1。これよりJordan標準形への変形は次のように与えられる：\left(\begin{array}{c} \vec{e}_2 \\ \vec{e}_1 \end{array}\right) \left(\begin{array}{rr} 0 & 1 \\ -\alpha^2 & 2\alpha \end{array}\right) = \left(\begin{array}{l} \alpha \vec{e}_2 + \vec{e}_1\\ \alpha \vec{e}_1 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{rr} \alpha & 1 \\ 0 & \alpha \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} \vec{e}_2 \\ \vec{e}_1 \end{array}\right)

*1:この部分はt=1を代入したものを\vec{e}_2としてもよい。