分数関数の積分の方針の立て方：1/(1+x2), 1/(1-x2)の積分

$\displaystyle\int\frac{dx}{1+x^2}$ の計算では $x=\tan\theta$ と置く

と解ける*1(計算の続きはここ)。その一方で積分

$\displaystyle\int\frac{dx}{1-x^2}$ の計算では $\displaystyle\frac{1}{2}\int\left(\frac{1}{1-x}+\frac{1}{1+x}\right)dx$ と部分分数展開をする

と解ける(計算の続きはここ)
ここでは置換はしない。「知るか！」と言いたくなる*2。使い分けの基準は

分母＝０の解が実数ならば部分分数展開、複素数ならば $x=\tan\theta$ 。

$\displaystyle\frac{1}{1-x^4}$ みたいに実数と複素数の解が混ざってたらどうするんだ…ということについては~~いずれ書く(だろう)~~書いてみた。

*1:ただし高校では昔から逆三角関数は教えないので、試験では不定積分は出せない。

*2:知らなかったら解けないだけだが。