1/(1-x4)の積分 - あらきけいすけの雑記帳

まず分数関数なので分母＝０となる点(複素数の範囲で)を分析すると $1-x^4=-(x+1)(x-1)(x+i)(x-i)=0$ なので、 $x=1,-1,\pm i$ となる。これより
$\displaystyle\frac{1}{1-x^4}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}+\frac{Cx+D}{x^2+1}$
と部分分数分解できることがわかる。ここでヘビサイドの方法(Heaviside's cover-up method)*1を用いて A, B, C, D を求めると

$\displaystyle A=\lim_{x\to1}(x-1)f(x)$ $\displaystyle=-\frac{1}{(1+1)(1^2+1)}$ $\displaystyle=-\frac{1}{4}$ , $\displaystyle B=\lim_{x\to-1}(x+1)f(x)$ $\displaystyle=-\frac{1}{(-1-1)((-1)^2+1)}$ $\displaystyle=\frac{1}{4}$ ,
$\displaystyle Ci+D=\lim_{x\to i}(x^2+1)f(x)$ $\displaystyle=-\frac{1}{(i-1)(i+1)}$ $\displaystyle=\frac{1}{2}$ ,
$\displaystyle -Ci+D$ $\displaystyle=\lim_{x\to -i}(x^2+1)f(x)$ $\displaystyle=-\frac{1}{(-i-1)(-i+1)}=\frac{1}{2}$

より $\displaystyle C=0, D=\frac{1}{2}$ となる。よって

$\begin{eqnarray}\displaystyle\int\frac{dx}{1-x^4}&=&-\displaystyle\frac{1}{4}\int\frac{dx}{x-1}+\frac{1}{4}\int\frac{dx}{x+1}+\frac{1}{2}\int\frac{dx}{x^2+1}\\&=&\displaystyle-\frac{1}{4}\log|x-1|+\frac{1}{4}\log|x+1|+\frac{1}{2}\tan^{-1}x+C\end{eqnarray}$

となる。参考:1/(x²-1)の積分, 1/(x²+1)の積分.
[2011.10.12]kamaplaさまのご指摘を受けて、符号のミスを修正した

*1:部分分数分解 (partial fraction decomposition) - あらきけいすけの雑記帳