厳密な収束性云々の話を抜きにしても、大学初年度程度の微積分における指数関数の話をここからはじめるのはムチャな気がするが、テイラー展開の話のあたりでこれに触れないのも芸が無いような気がする。無限級数で定義された関数の積は となるのだが、この展…

三角関数関連の公式は、高校のときにわけも分からず覚えさせられて、かなり「苦しんだ」記憶がある。たとえば三角関数の合成の式： ここで ,まあ高校数学の公式としては「応用」扱いなので、先生もドリルやったりとか、熱心には教えてくれなかったような…。…

Visual Calculus 2008.2.14

教科書*1に「未知量も既知量も文字ですべてを表して式を扱う考え方は、17世紀初頭にヴィエタ(1540〜1603)によって確立された」と書いてあった。 cf. http:math.berkeley.edu/~robin/Viete/work.html *1:ボクが高校時代に使っていた数学Iの教科書

接線とは1次までのテイラー展開のことである。関数のグラフの点での接線は、傾きがで点を通る直線なので これは次のように式変形できる 接線の式をこの形で表現するとテイラー展開の図形的な意味とのつながりが出てくる。

接線とは接点を通りベクトルに平行な直線である。関数のグラフを考えたとき、の導関数をと書くこともある。図形的には「のグラフは点において横に進んだら、縦にだけ進む」ということを意味している。ここで「横に進んだら、縦にだけ進む」ということを「ベ…

三角関数の1乗,2乗,3乗の積分は解く方針がぜんぜん違う

(sin(x))'=cos(x)の導き方

「原始関数」に対応する英単語は antiderivative Indefinite Integral -- from Wolfram MathWorld Antiderivative - Wikipedia

dx, dy に対する u, v の変化量は , で与えられます。逆関数の導関数とは du, dv が分かっているときに dx, dy の値を求めることです。この二つの方程式から dx, dy を逆に求めるとつぎのようになります：, ここで です。ですから ここでを計算すると , とな…

()の微分係数がで定義できる条件は、(1)が点の近傍での線形空間として扱えること*1、(2)がCauchy-Riemannの関係式, を満たすことの二つである。 2006.6.1 *1:これは微分係数の値が微分の方向に拠らないことを保証する

大学に入りたての頃は近似するということがどういうことか分かっていなかった。 近似をするということは、正確な答えを出さないということだから、そんな不純なものを数学に持ち込んで良いのかと思った。…てゆーか、教科書に載っているテイラー展開とかは、…

の関数が微分方程式を満たすとき、方程式の解を求めてみる。この微分方程式が任意ので成り立つと仮定すると、が成り立つから、これのでの値をテイラー級数の式に代入するとを得る。もちろん議論の進め方としてはガサツである。これと同様の議論は微分方程式…

なぜラジアンという単位で角度をはかるのかという理由は… , のマクローリン展開は, ただし角の大きさはラジアンで測った値を代入することである。この式がなぜエライのかというと左辺：角の大きさ rad を分度器で測って、直角三角形の図を描いて、ものさしを…

テイラー展開とは…なにかグラフ があって、そのグラフの形を の近くで多項式 のグラフでそれなりに似せようとしたときに、 , , , , , にしておくと結構いいよ…という話だ（多分）。「似せる」だけである。ドンピシャ同じということはまず有り得ない。じゃあ…

積分、分数関数、置換積分

積分、分数関数、置換積分